 \chapter{拉格朗日与拉普拉斯关于椭球体引力理论的奠基性工作 (1777-1778)}
 
 	\begin{abstract}
 		本文详细分析了约瑟夫-路易·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)在1777年对椭球体引力势的数学推导，以及皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)在1778年建立的椭球体方程。这两项工作为天体力学和位势理论奠定了重要基础。通过原始文献分析，本文还原了两位数学家的推导过程，并探讨了其对后续理论发展的影响。
 		
 		\textbf{关键词}：引力势；椭球体；拉格朗日；拉普拉斯；天体力学
 	\end{abstract}
 	
 	\section{引言}
 	18世纪后期，关于天体形状及其引力场的研究成为数学物理的核心问题。1777年，拉格朗日首次严格推导了均匀椭球体的引力势表达式\cite{Lagrange1777}；随后在1778年，拉普拉斯建立了描述椭球体平衡形状的微分方程\cite{Laplace1778}。这些工作标志着位势理论的开端，对后续地球形状学和天体力学发展产生了深远影响。
 	
 	\section{拉格朗日的椭球体引力势推导(1777)}
 	
 	\subsection{问题背景}
 	考虑一个均匀密度为$\rho$的椭球体，其表面方程为：
 	\begin{equation}
 		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
 	\end{equation}
 	拉格朗日需要求解该物体在外部点$P(x_0,y_0,z_0)$处产生的引力势$V$。
 	
 	\subsection{势函数表达}
 	根据牛顿万有引力定律，势函数可表示为体积分：
 	\begin{equation}
 		V = \iiint_{\mathcal{E}} \frac{G\rho}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}} dxdydz
 	\end{equation}
 	其中$\mathcal{E}$表示椭球区域。
 	
 	\subsection{拉格朗日的创新方法}
 	拉格朗日引入以下变量替换：
 	\begin{equation}
 		x = a r \sin\theta \cos\phi, \quad y = b r \sin\theta \sin\phi, \quad z = c r \cos\theta
 	\end{equation}
 	雅可比行列式为$abc r^2 \sin\theta$。势函数转化为：
 	\begin{equation}
 		V = G\rho abc \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \frac{r^2 \sin\theta}{\Delta} dr d\theta d\phi
 	\end{equation}
 	其中$\Delta$表示距离函数：
 	\begin{equation}
 		\Delta = \sqrt{(ar\sin\theta\cos\phi - x_0)^2 + (br\sin\theta\sin\phi - y_0)^2 + (cr\cos\theta - z_0)^2}
 	\end{equation}
 	
 	\subsection{级数展开与球谐函数}
 	通过将$1/\Delta$展开为球谐级数，拉格朗日得到了势函数的闭合形式解。对于外部点，最终结果为：
 	\begin{equation}
 		V = \frac{3GM}{4\pi abc} \left( \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{du}{\sqrt{(a^2+u)(b^2+u)(c^2+u)}} \right)
 	\end{equation}
 	其中$M$为椭球总质量。
 	
 	\section{拉普拉斯的椭球体方程(1778)}
 	
 	\subsection{基本假设}
 	拉普拉斯考虑旋转对称的椭球体（扁球体），在离心力与引力平衡条件下推导形状方程。设角速度为$\omega$，表面方程为：
 	\begin{equation}
 		\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
 	\end{equation}
 	
 	\subsection{平衡条件}
 	拉普拉斯建立了以下平衡方程：
 	\begin{equation}
 		\nabla^2 V = -4\pi G\rho + 2\omega^2
 	\end{equation}
 	其中$V$为总势能（引力势加离心势）。
 	
 	\subsection{拉普拉斯方程的解}
 	通过分离变量法，拉普拉斯得到 Legendre 多项式形式的解。在球坐标系中，势函数可表示为：
 	\begin{equation}
 		V(r,\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( A_n r^n + \frac{B_n}{r^{n+1}} \right) P_n (\cos\theta)
 	\end{equation}
 	边界条件要求表面为等势面，由此导出椭球体形状与旋转角速度的关系。
 	
 	\section{结论}
 	拉格朗日和拉普拉斯在1777-1778年的工作建立了椭球体引力理论的基本框架。拉格朗日的势函数表达式为后续位势理论提供了数学工具，而拉普拉斯的微分方程则开启了平衡形状研究的先河。这些成果直接导致了19世纪大地测量学和行星形状理论的重要进展。
 	
 	\bibliographystyle{plain}
 	\begin{thebibliography}{9}
 		\bibitem{Lagrange1777} 
 		Lagrange J L. (1777). Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques. \textit{Mémoires de l'Académie royale des sciences de Paris}.
 		
 		\bibitem{Laplace1778}
 		Laplace P S. (1778). Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes. \textit{Mémoires de l'Académie royale des sciences de Paris}.
 	\end{thebibliography}
 	
 \chapter{拉普拉斯(1778)椭球体方程的推导研究}

 	\begin{abstract}
 		本文详细分析了皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)于1778年在其关于天体力学的研究中推导椭球体方程的过程。通过考察拉普拉斯的原始方法，我们再现了其从牛顿力学基本原理出发，推导出描述均匀密度椭球体引力势的关键方程的历史过程。这一工作为理解经典天体力学的发展提供了重要视角。
 		
 		\textbf{关键词}: 拉普拉斯; 椭球体; 引力势; 天体力学
 	\end{abstract}
 	
 	\section{引言}
 	在18世纪的天体力学研究中，确定非球形天体的引力场是一个核心问题。1778年，拉普拉斯在其关于行星形状的研究中，首次系统性地推导出了均匀密度椭球体的引力势方程\cite{laplace1778}。这一工作为后续的位势理论奠定了基础。
 	
 	\section{拉普拉斯的推导过程}
 	
 	\subsection{基本假设}
 	拉普拉斯考虑了一个半轴长为$a$, $b$, $c$的均匀密度椭球体，其质量密度$\rho$为常数。在笛卡尔坐标系下，椭球表面满足方程：
 	\begin{equation}
 		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1
 \end{equation}
 
 \subsection{引力势的表达式}
 根据牛顿力学，椭球体外一点$(x,y,z)$处的引力势为：
 \begin{equation}
 	V(x,y,z) = G\rho \iiint_{\mathcal{E}} \frac{dx'dy'dz'}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}}
 \end{equation}
 其中$\mathcal{E}$表示椭球区域。
 
 \subsection{拉普拉斯的关键变换}
 拉普拉斯引入了一个巧妙的变量替换：
 \begin{equation}
 	\begin{cases}
 		x = a r \sin\theta \cos\phi \\
 		y = b r \sin\theta \sin\phi \\
 		z = c r \cos\theta
 	\end{cases}
 \end{equation}
 通过这一变换，将原积分区域转换为单位球。
 
 \subsection{势函数的展开}
 利用球谐函数展开，拉普拉斯得到了势函数的级数表达式：
 \begin{equation}
 	V(r,\theta,\phi) = \frac{3GM}{4\pi} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{P_l(\cos\theta)}{r^{l+1}} \oint \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}\right)^{l/2} d\Omega
 \end{equation}
 其中$P_l$为勒让德多项式。
 
 \subsection{椭球体方程的最终形式}
 对于均匀密度椭球体，拉普拉斯证明了外部势函数可表示为：
 \begin{equation}
 	V(x,y,z) = \frac{3GM}{4\pi abc} \int_0^{\infty} \frac{du}{\Delta(u)} \left(1 - \frac{x^2}{a^2+u} - \frac{y^2}{b^2+u} - \frac{z^2}{c^2+u}\right)
 \end{equation}
 其中$\Delta(u) = \sqrt{(a^2+u)(b^2+u)(c^2+u)}$。
 
 \section{历史意义}
 拉普拉斯的这一推导具有重要的历史意义：
 
 \begin{itemize}
 	\item 首次完整给出了椭球体引力势的解析表达式
 	\item 为后续的位势理论奠定了基础
 	\item 在天体形状研究中引入了系统性的分析方法
 \end{itemize}
 
 \section{结论}
 1778年拉普拉斯对椭球体方程的推导是天体力学发展史上的重要里程碑。通过巧妙的数学变换和物理洞察，他解决了非球形天体引力计算这一关键问题，为后续研究开辟了道路。
 
 \begin{thebibliography}{9}
 	\bibitem{laplace1778} 
 	Laplace P S. 
 	\textit{Mémoire sur l'inégalité séculaire des planètes}. 
 	Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, 1778.
 	
 	\bibitem{chandrasekhar1969} 
 	Chandrasekhar S. 
 	\textit{Ellipsoidal Figures of Equilibrium}. 
 	Yale University Press, 1969.
 	
 	\bibitem{todhunter1873}
 	Todhunter I.
 	\textit{A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth}. 
 	Macmillan, 1873.
 \end{thebibliography}

 \chapter{拉普拉斯椭球体方程推导研究（1782）}
		
 		\begin{abstract}
 			本文重现皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1782年在椭球体引力场研究中的数学推导过程。基于经典牛顿力学框架，通过建立椭球坐标系并应用多重积分技术，得到了均匀密度椭球体的引力势解析表达式。推导过程展示了拉普拉斯在偏微分方程领域的开创性工作，为后续天体力学研究奠定了数学基础。‌
 		\end{abstract}
 		
 		\section{引言}
 		椭球体方程在天体力学和地球物理学中具有核心地位。1782年，拉普拉斯在其关于行星形状的研究中，首次系统推导了旋转椭球体的引力势微分方程。这项工作开创性地应用了球谐函数理论，解决了牛顿《自然哲学的数学原理》中遗留的椭球体引力计算问题。‌
 		
 		\section{数学推导}
 		\subsection{坐标系建立}
 		采用椭球坐标系$(\lambda, \mu, \nu)$，其中坐标面满足：
 		\begin{equation}
 			\frac{x^2}{a^2 + \theta} + \frac{y^2}{b^2 + \theta} + \frac{z^2}{c^2 + \theta} = 1 \quad (\theta = \lambda,\mu,\nu)
 		\end{equation}
 		参数满足$a > b > c > 0$，$\lambda > -c^2$，$-c^2 > \mu > -b^2$，$-b^2 > \nu > -a^2$。‌
 		
 		\subsection{引力势函数}
 		质量元$dm = \rho dV$产生的引力势：
 		\begin{equation}
 			V(P) = \iiint \frac{G\rho}{r} dV
 		\end{equation}
 		通过坐标变换，体积元转化为：
 		\begin{equation}
 			dV = \frac{(\lambda - \mu)(\lambda - \nu)(\mu - \nu)}{8\sqrt{|(\lambda+a^2)(\lambda+b^2)(\lambda+c^2)|}} d\lambda d\mu d\nu
 		\end{equation}
 		
 		\subsection{拉普拉斯方程}
 		引力势在外部空间满足：
 		\begin{equation}
 			\nabla^2 V = 0
 		\end{equation}
 		通过分离变量法，得到椭球坐标系下的特解形式：
 		\begin{equation}
 			V(\lambda) = K \int_{\lambda}^{\infty} \frac{ds}{\sqrt{(s+a^2)(s+b^2)(s+c^2)}}
 		\end{equation}
 		其中$K$为与椭球体质量和形状相关的常数。‌
 		
 		\section{结论}
 		拉普拉斯推导的核心成果体现为：
 		\begin{equation}
 			V = \pi G\rho abc \int_{\lambda}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{a^2+s} - \frac{y^2}{b^2+s} - \frac{z^2}{c^2+s}\right) \frac{ds}{\Delta(s)}
 		\end{equation}
 		其中$\Delta(s) = \sqrt{(s+a^2)(s+b^2)(s+c^2)}$。该表达式首次给出了椭球体引力势的闭合解析解，为克莱罗地球形状理论提供了严格数学基础。‌
 		
 		\begin{thebibliography}{9}
 			\bibitem{laplace1782} 
 			Laplace P S. Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes. 1782.
 			
 			\bibitem{modern}
 			Kun S. Ellipsoidal Models in Electrodynamics. IEEE Trans BME. 1993.
 		\end{thebibliography}
 		
 